¿Una Piedra de Rosetta Cósmica?

El mensaje del post anterior representa, según mi modo de pensar, una prueba concreta de las posibilidades de comunicación extraterrestre. Sin embargo no quiero dejar pasar por alto el presupuesto básico de este mensaje: las matemáticas son universales.
Entendido esto, pasamos a descifrar el mensaje como lo haría un criptógrafo de nuestro tiempo. En primer lugar, nuestro criptógrafo intentaría encontrar alguna regularidad en la secuencia de unos y ceros.
Esto es muy fácil, hoy en día, con la ayuda de computadoras. Sin embargo, en nuestro caso, esto no lo conduciría a resultados positivos porque nuestro mensaje no esta formado por palabras codificadas.
Difícilmente un extraterrestre trataría de comunicarse con nosotros utilizando su idioma.
Así que nuestro criptógrafo, convencido de que esto es así, se lanza una vez más a descifrar nuestro mensaje.
El piensa que esos 1271 ceros y unos transportan algún tipo de información, pero por el momento no sabe cual. De repente toma conciencia que esta tratando con números.
Y del mismo modo que Gauss estaba convencido que los seres de otro planeta debían conocer el teorema de Pitágoras, nuestro criptógrafo hace la siguiente suposición: seguramente para poder enviar este mensaje desde tan lejos estos seres necesitaron fabricar previamente un radiotelescopio, y esto implica altos conocimientos en algebra y geometría. Por lo tanto, estos seres deberían conocer la verdad universal que llamamos teorema fundamental de la aritmética.
Si esto es así el numero 1271 debería estar definido inequívocamente por dos o mas números primos. Pero ¿por cuantos?
Gracias a su experiencia descubre rápidamente que 1271 es igual al producto de los números primos 31 y 41 y como si estuviera poseído por estos dispone los unos y ceros en una tabla de 31 columnas y 41 filas.
En este primer intento falla pero esto no lo perturba porque sabe, y esto lo aprendió desde muy chico, que el orden de los factores no altera el producto. Solo queda disponer los ceros y unos en una tabla de 41 columnas y 31 filas y ver que pasa.
Lo hace así y el resultado es la imagen del video donde los unos se muestran con el símbolo 1 y los ceros con las casillas vacías.
A primera vista los 1271 ceros y unos (1271bits) parecen encerrar una asombrosa información.
Sin duda, las imágenes de seres parecidos a nosotros parece ser una invitación para seguir descifrando el mensaje.
Pero ya son las 2 de la mañana y solo hay tiempo para contemplar las estrellas y pensar en aquellos, que desde tan lejos, tuvieron la necesidad de tirar esa especie de botella al infinito oleaje del Universo para decir aquí estamos. ¿Cómo dormir ahora si podemos conocer más sobre ellos? Vuelve entonces a su escritorio y continua mas eufórico que antes (¡solo es por el café mal pensados!).
A poco de empezar advierte unos símbolos a la izquierda de la figura masculina (suposición gratuita ya que no conoce nada de la biología extraterrestre). ¿Representan esos símbolos a los números binarios?
En un momento de inspiración (sino no termino más) se acuerda que la primera línea del mensaje comenzaba y terminaba con un punto.
Si bien estos puntos no decían en que sentido había que leer el mensaje, sin dudas cumplían la función de delimitadores. Y seguramente no eran los únicos. Era hora entonces de ejercitar el pensamiento lateral. A ver, tenemos algo parecido a un sol en el extremo superior izquierdo, olas que empiezan en el tercer punto debajo del sol (mas algo que parece un pez) y la mano de la figura masculina señalando el cuarto punto. Si esos puntos representan a los planetas de su sistema solar, la posición de cada uno de ellos podría estar representada en forma de número binario. Es una buena ocurrencia pero hay que probarlo. Así que construye la siguiente tabla.

Bueno, no resulto, pero fue un buen intento. Ahora esta mas desorientado que nunca. Solo los espejos pueden dar cuenta del agotamiento de nuestro criptógrafo así que habrá que seguir en otro momento. Ahora si, es hora de dormir. Y a medida que sus parpados se rinden a lo encantos de Morfeo su mente empieza a inundarse de personajes conocidos como Alicia, Da Vinci, y el mito de la medusa. Algo no mucho mas loco de lo que nos sucede cuando estamos en vigilia.
A la mañana siguiente decide hacerle caso a una idea loca que no sabe de donde le vino.
Perdido por perdido voltea la imagen horizontalmente en su computadora y vuelve de nuevo sobre aquellos símbolos. Otra vez hay que reconstruir la tabla.

¡Eureka! Hemos aprendido como leer el mensaje.
Ahora vamos por más. El mensaje parece decirnos que existe vida en el tercer y en el cuarto planeta. Pero, ¿quién envió este mensaje? ¿El pez o las figuras antropomorfas? Seguramente poco a poco lo iremos develando. Por ahora seguimos buscando más información.
La forma de vida del cuarto planeta es bípeda y parece reproducirse por vía sexual ya que se observa un dimorfismo en estos seres. Uno de ellos (¿mujer?) señala al numero binario 110 tratando de decirnos quizás que tienen 6 dedos en cada mano. Algo parecido a un corchete del lado de la mujer parece querer indicarnos la altura de estos seres. Si nos fijamos atentamente podemos encontrar el numero binario 11 a la mitad del corchete. Pero, ¿a que unidad se refiere el 11?
La única unidad que por el momento conocemos nosotros y ellos es la frecuencia de onda del hidrogeno en la que fue enviado el mensaje (1420 MHz o 21 cm). Por lo tanto, un simple cálculo arroja una altura de 2.31 m, es decir que estos seres, son bastante mas altos que nosotros.
Por último, uno de los brazos de la figura masculina señala el cuarto planeta, con lo que probablemente quiere indicarnos que este es su planeta de origen. Si quedaba alguna duda, este último dato revela sin lugar a dudas que los autores del mensaje deben ser las figuras antropomorfas. Ahora sí podemos sacar una conclusión más: estos seres poseen además la tecnología espacial necesaria para viajar al tercer planeta y estudiar su fauna.
Solo nos resta saber que representan las figuras en la parte superior del mensaje. Estas figuras parecen ser una colección de partículas y pueden entenderse sin mucha dificultad como representaciones de los átomos de hidrogeno, carbono y oxigeno.
Sabemos, por otro lado, que el 96 % del organismo de los seres vivos de nuestro planeta esta constituido por estos tres elementos. Sin embargo falta uno muy importante: el nitrógeno. Sin este elemento es impensable la vida tal como la conocemos.
Si la omisión es intencional, probablemente lo sea para que nosotros enviemos la corrección correspondiente y le hagamos saber así que hemos aprendido nuestra segunda lección de comunicación.

La canción del Hidrógeno

Viene sonando desde hace 13.700 millones de años pero hace poco la empezamos a escuchar. Algunos dirán que no existe tal música, pero para mi, solo es una cuestión de definición. Por cierto hubo una época en la que las matemáticas incluían el estudio del algebra, la geometría, la música y la astronomía. A través de estos cuatro caminos o Quatrivium, los pitagóricos dirigían su mente y sus oídos hacia el Cosmos. Y quizás no estuvieron tan equivocados. Los ladrillos con los cuales se ha edificado nuestro Universo podrían ser cuerdas microscópicas idénticas en constante vibración. Así, la naturaleza, produciría todo lo que conocemos haciendo vibrar esa única cuerda en sus infinitas formas. Como vemos, la idea pitagórica de la música de las esferas ha retornado de manera inesperada para dirigir nuestra mente y nuestros oídos hacia lo más pequeño. Y en ese mundo microscópico, lleno de muchos interrogantes, nos encontramos con el elemento más simple dentro de la tabla periódica: el hidrógeno. Como todo elemento, el hidrógeno, tiene sus propios modos de vibración. De hecho son los mas simples ya que esta compuesto por un solo protón y un solo electrón. Sin embargo esto no le impide al hidrógeno ejecutar su canción por todas partes ya que es el elemento mas abundante del Cosmos. Tres cuartas partes de la materia ordinaria del Universo es hidrógeno. Y, sin embargo, la mayor parte de este pasó desapercibido por muchos años. ¿Por qué? Como sabemos existe hidrógeno dentro de las estrellas pero también en el espacio interestelar. Una parte de ese hidrógeno interestelar es fácilmente detectable porque brilla con una luz característica azul y roja cuando se encuentra cerca de las estrellas. Por cierto, un ambiente rico en estrellas puede dar como resultado una nebulosa. Sin embargo el 95% del hidrógeno interestelar esta demasiado lejos de las estrellas y por lo tanto es incapaz de brillar. En otras palabras, nuestros instrumentos se vuelven casi ciegos a este hidrógeno. Dije casi, pero no totalmente ciegos, porque todavía es posible escuchar las ondas de radio en la frecuencia de 1420 MHz del hidrogeno (la canción del hidrogeno). Curiosamente…, en 1959 se sugirió que, por su "importancia universal", la frecuencia de 1420 MHz podría ser las más apropiada para establecer contacto con civilizaciones extraterrestres. Sin embargo, lo realmente importante es: ¿qué señales deberíamos emitir para comunicarnos con una civilización extraterrestre?

En primer lugar, la señal debería ser claramente artificial. Podríamos usar entonces alguna constante matemática como el numero pi por su universalidad. Podríamos optar tal vez por los números primos, ya que cualquier civilización tecnológicamente avanzada debería saber que no hay proceso natural que pueda imitarlos. En segundo lugar, el mensaje debería ser universal. Y como una imagen vale más que mil palabras, podríamos intentar enviar en un comienzo figuras simples. A primera vista parece que las imágenes complican nuestro problema, porque es evidente que es mucho más sencillo enviar al espacio exterior un telegrama a base de puntos y rayas que una imagen. Pero existe una solución que combina la ventaja de los dos métodos. Hay que tener en cuenta, que la única lengua que utilizan los radiotelescopios para emitir o recibir, esta basada en el uso de impulsos eléctricos. Las señales por lo tanto consisten en una serie de unos y ceros (impulsos eléctricos y pausas entre estos impulsos respectivamente). Del mismo modo que se reconstruye en la pantalla del televisor una imagen creada a base de impulsos enviados por el emisor, puede codificarse también y enviarse al espacio una imagen por medio de ondas de radio. Desde luego, la canción del hidrógeno ya no sonará más como antes, sino, algo mas humana.
Para poner a prueba estos supuestos les propongo decodificar el siguiente mensaje.

1000000000000000000000000000000000000000100001110000000000000100
0000000010001000000001000100000000000000000000000000000000000010
0010000100000010000000000001000000000001000100000000010000010000
0100000001000000011100000000000000100000000000010000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000001000000000010
0010000011000100000000000000000000000000000000000000000000011000
0110000110000110000110000100000000010010010010010010010010010010
0101010010010000110000110000110000110000110000000001000000000001
1111010000000000000000000001000000000001000001000000000001011011
1001000000000000011111010000000000000000000000000000100000000000
0000001000100111000000000000101000000000000000101001000011001010
1110010100000000000000010100100001000000000010010000000000000000
0100100000100000000000111110000000000000111110000001110101000000
1010100000000000101010000000100000000000100010100000000010100010
0000000000000000010001001000100010011011001110110110100000100010
0010101010001000100000000000000000010001000100100100010001000000
1000000000000111000001111100000111000000011111010000010101000001
0100000100010000001000000000010000010000111000010000010000010000
0000001000001000100010001000001000001100011000010000010001000100 0100000100000110000000011000001101100011011000001100111

¿Será verdad que la matemática es un lenguaje universal?

De la Tierra a la Luna

Me parece interesante empezar este post haciendo un viaje imaginario a Egipto.
Es de mañana. En el horizonte empieza a asomarse el sol. No es un día cualquiera. Los sacerdotes egipcios acompañan a su faraón y al griego Tales de Mileto hacia la gran pirámide. Hace un tiempo atrás el faraón le había pedido a Tales que resolviera un viejo problema: conocer la altura de la Pirámide de Keops. (¿los egipcios no conocían la altura de lo que ellos mismos habían construido?). El cortejo se detuvo. Ese era el lugar indicado. Tales clavó su bastón en la arena hasta una marca preestablecida y espero paciente que el sol creara la magia. En un momento determinado los rayos del sol cayeron paralelos entre si, con una inclinación de 45º, proyectando la sombra de todo lo que se encontraba en aquella planicie. Era un hermoso y agradable día. Solo había dos posibilidades para que Tales realizara esta medición en aquella ubicación (a 29º 58’ 33’’ de latitud en el hemisferio norte): el 21 de noviembre o el 20 de enero. Cuando la sombra del bastón fue igual de larga que el propio bastón, le dijo a un servidor del faraón: "Corre y mide rápidamente la sombra de la Gran Pirámide. En este momento es tan larga como la propia pirámide".En otras palabras, tanto el bastón como la pirámide formaron con sus sombras un triangulo isósceles. (Un triángulo isósceles tiene dos lados y dos ángulos iguales).

Ahora bien, imaginemos que estamos en el Monumento Nacional a la Bandera de Rosario y queremos determinar la altura de su torre central.
Estamos en Invierno y los rayos del sol no caen en un ángulo de 45º. En este caso las sombras forman triángulos escalenos (en un triángulo escaleno todos sus lados y todos sus ángulos son distintos). A pesar de esto podemos usar la siguiente proporción, siempre y cuando los triángulos ABC y abc sean semejantes. (Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma. En el caso de los triángulos, la forma sólo depende de sus ángulos).Donde: AB = longitud de la torre central
AC= longitud de la sombra de la torre central
ab= longitud de una vara.
ac= longitud de la sombra de la vara.
Conociendo AC, ab y ac se obtiene AB, es decir la longitud de la torre central.


Podríamos seguir así calculando la altura de una infinidad de objetos y seres vivos que comparten nuestro planeta. ¿Hay algo mas que podamos calcular? Sí, solo basta mirar al cielo y eso es lo que hizo Galileo Galilei hace casi 400 años. Después de construir su primer telescopio observó la Luna. Cuatro meses antes lo había hecho Thomas Harriot en Londres. Si bien, esto no requiere hoy en día, ni de imaginación ni de coraje, en esa época la realidad era otra. Ambos tuvieron el valor de acercarse a la Luna como nadie lo había hecho antes. Sin embargo ambos vieron dos Lunas totalmente distintas. Harriot vió la Luna de los poetas, Galileo la Luna que conocemos hoy. Es así que usando su telescopio, Galileo pudo descubrir que la superficie de la Luna no era lisa y uniforme, como se creía en aquella época, sino que tenía una gran cantidad de cráteres y montañas. El nuevo problema que se le planteo a Galileo fue que no tenía ningún objeto conocido con el cual comparar las montañas lunares. Había entonces que echar mano de otra herramienta matemática: la Trigonometría.
Calculando la altura de las montañas lunares por medio de sus sombras encontró que estas eran similares a las de la Tierra llegando a medir, las más altas, unos 10.000 metros.
Hay que tener en cuenta, que la montaña mas alta de la Tierra (a nivel del mar) es el Everest con 8.900 metros y a la vez que esta representa 1/700 del radio terrestre Por lo tanto se encontró con la sorpresa que las montañas lunares eran mucho mas altas proporcionalmente que las de la Tierra y representaban aproximadamente 1/174 del radio lunar.
De cualquier manera estas fueron las primeras experiencias que tuvo el hombre para conocer mas de cerca nuestro satélite natural.
Para medir hoy en día los accidentes geográficos de la luna y de otros planetas, los astrofísicos necesitan calcular en primer lugar un radio promedio polar y uno ecuatorial. Con estos datos arman luego una esfera o un esferoide, según sea el caso, y lo utilizan como línea de base para calcular la altura de las montañas o las depresiones.

Bueno, ahora nos preparamos para volver a la Tierra.

Pons asinorum

Descifrando el código .
En un papel esta la clave para descifrar el código da Vinci. Solo necesitamos conocer un poco de geometría, tener algo de habilidad con las manos y mucha, …mucha paciencia para saber qué se oculta detrás de estos papeles llenos de cicatrices.
La metamorfosis puede ser tan extraña y sorprendente como en la naturaleza.

Esta es solo una de las más de 370 formas de demostrar el Teorema de Pitágoras, considerado el pons asinorum (puente de los burros) de la Edad Media.
A tal punto, que en esa época, se exigía una nueva demostración de este teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos.
Leonardo da Vinci, el genio del Renacimiento, así lo hizo y pudo demostrarlo de la forma mas elegante que se conozca.
El desafio, entonces, era a continuación demostrar mediante la papiroflexia u origami este Teorema.
Mientras lo hacia, aprendí cosas interesantes sobre los origamis.
Su historia comienza en el siglo I o II, en China, junto con la historia del papel y mas tarde llega a Japón (siglo V). Por aquel entonces, el papel era un articulo de lujo que solo podían conseguir las personas de clase alta. Con el tiempo se hace más popular y sus diferentes figuras se usan para distinguir las distintas clases sociales. Solo falta una cosa: ganarse un lugar en el espíritu japonés. Por eso en Japón la grulla es un símbolo de la buena suerte; regalar por ejemplo una grulla de origami a una persona enferma simboliza el deseo que esta recupere la salud. En Japón existe la creencia de que quien pliegue mil grullas de papel verá cumplido cualquier deseo propio. Esta antigua tradición japonesa fue conocida a nivel mundial debido a una triste historia: una niña japonesa enferma de leucemia, después del ataque con bombas atómicas sobre Hiroshima, comenzó a plegar grullas de papel con la esperanza de salvar su vida, pero la muerte le sobrevino antes de completar las mil.
Sus compañeros de clase plegaron el resto, y la enterraron con las mil grullas que no pudieron salvarle la vida. Desde entonces, la grulla ha sido considerada también como un símbolo de paz.

Otra cosa que me quedo clara, es porqué este teorema despierta la curiosidad de los matemáticos. Solo hay que ver las siguientes figuras para entenderlo.

Las posibilidades aumentan si utilizamos la tercera dimensión. Asi que la lista es larga.
Pero mas difícil de explicar es para que sirve el teorema de Pitágoras. Incluso mas difícil que esto es explicar evolutivamente para que le servia a nuestros antepasados homínidos tener una mente matemática en un mundo donde no estaban satisfechas las necesidades básicas.
Y las preguntas siguen. ¿Se cumplirá el teorema de Pitágoras para exponentes naturales mayores que 2?

Hasta el próximo post.

Limbos matemáticos y universos físicos.

A lo largo de la historia de las matemáticas se han ido acumulando distintas “formas de demostrar”. Probablemente la más convincente de todas ellas sea la demostración visual, una demostración que nos lleva desde el universo simbólico al universo físico, de las líneas y las superficies al universo 3D en el que vivimos.
A veces es bueno pasar a una dimensión superior para resolver un problema. Y aquí vemos al genio de Pitágoras convirtiendo un problema de líneas en un problema de superficies. ¡Brillante! Pero, ¿que pasa si subimos una dimensión más? El resultado es este.

Curiosidades matemáticas

Si digo Pitágoras seguramente se nos viene a la mente el famoso "Teorema”. Añadamos la palabra cuadrado y como por arte de magia tendremos este hermoso cuadrado mágico.

Para disfrutarlo, recordemos primero qué nos dice el más antiguo de los teoremas. Según el enunciado de Diofanto:
En un triangulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Sobre el cateto menor se ha construido un cuadrado mágico donde la suma de cada fila y cada columna es igual a 147 y la suma de todos sus números, 441. En el cuadrado construido sobre el cateto mayor, la suma de cada fila y cada columna es igual a 46, por lo que la suma de todos sus números es igual a 184.
Reemplazando en la ecuación de Diofanto tenemos que: 441 + 184 = 625.
Y efectivamente, la suma de todos los números del cuadrado construido sobre la hipotenusa nos da el mismo resultado.
Falta solo demostrar si se trata de un cuadrado mágico, tarea que se las dejo a quien quiera postear.

Grandes enigmas dentro de simples figuras

La característica más visible del cuadrado mágico de Durero es que en su parte inferior aparece el año en que este fue grabado, el 1.514.
Las demás características no son tan evidentes como la anterior y por lo tanto requieren una mirada diferente.
Todas sus filas, columnas, diagonales, el cuadrado central y sus cuatro cuadrantes de las esquinas suman 34.
Así , de la mano de Durero hemos descubierto las curiosas propiedades de los cuadrados mágicos , tal como lo hicieron los chinos hace unos cinco siglos antes de nuestra era.
Ellos le pusieron otro nombre: Lo Shu

cuadrado magico Lo Shu
Pero el tiempo pasa y los matemáticos se vuelven más ambiciosos y más creativos. Así que en el siglo XI y XII dejan el papel y comienzan a grabar sus cuadrados mágicos en pilares como el del templo de Khajuraho (India).

En este caso las filas, columnas, diagonales, cuadrado central, cuadrados de las esquinas y diagonales quebradas suman 34.
Como ejemplo, vayan dos de las diagonales quebradas:
diagonales quebradas 12+8+5+9= 34
diagonales quebrada 15+3+2+14=34

¿Se animan a encontrar las restantes?.

Bueno, después de conocer el cuadrado mágico de Khajuraho se preguntaran ustedes, ¿porque Durero no explotó todo lo que se conocía con respecto a los cuadrados mágicos?.
La respuesta la encontramos cuando unimos mediante líneas las dos diagonales quebradas anteriores y obtenemos un hexagrama, el símbolo más poderoso de las fuerzas del mal.
Seguramente el conocía este hecho y por eso optó por un cuadrado menos complejo.
No quería dejar de exponer otros ejemplos interesantes de cuadrados mágicos, así que aquí van los más interesantes.

1-Cuadrado mágico "en un tablero de ajedrez"

Este cuadrado mágico está formado por los números del 1 al 64 y la característica más importante es que la suma total de las casillas blancas y negras es idéntica, e igual a 1040.

Prueben hacerlo con el de Durero haber como les va.

2-Cuadrado mágico-Doble
Hay cuadrados mágicos que tienen la interesante propiedad de contener otro cuadrado mágico en su interior por lo que se los denomina cuadrados mágicos dobles. Darnos cuenta nos puede llevar menos de nueve meses.

Una tarea, aun mas difícil y lacrimógena es ir acomodando sucesivos cuadrados mágicos en diferentes capas concéntricas exteriores.

3-Cuadrado mágico "Pandigital"

Dejamos para el final una verdadera joya matemática que demuestra lo extremadamente curiosos que son los matemáticos. Este impresionante cuadrado mágico tiene la interesante característica de ser pandigital, es decir, que cada elemento está formado por las diez cifras decimales sin repetir ninguna. Y no solo eso, sino que además, la suma de sus filas, columnas y diagonales es también pandigital (4129607358).

Estos pocos ejemplos bastan para hacernos comprender porque los cuadrados mágicos han resultado tan atractivos a tantas generaciones de matemáticos.
Allí donde parece haber desorden siempre se esconde un secreto que podemos desvelar.
Ocurre en la matemática y también en la vida.