De la Tierra a la Luna

Me parece interesante empezar este post haciendo un viaje imaginario a Egipto.
Es de mañana. En el horizonte empieza a asomarse el sol. No es un día cualquiera. Los sacerdotes egipcios acompañan a su faraón y al griego Tales de Mileto hacia la gran pirámide. Hace un tiempo atrás el faraón le había pedido a Tales que resolviera un viejo problema: conocer la altura de la Pirámide de Keops. (¿los egipcios no conocían la altura de lo que ellos mismos habían construido?). El cortejo se detuvo. Ese era el lugar indicado. Tales clavó su bastón en la arena hasta una marca preestablecida y espero paciente que el sol creara la magia. En un momento determinado los rayos del sol cayeron paralelos entre si, con una inclinación de 45º, proyectando la sombra de todo lo que se encontraba en aquella planicie. Era un hermoso y agradable día. Solo había dos posibilidades para que Tales realizara esta medición en aquella ubicación (a 29º 58’ 33’’ de latitud en el hemisferio norte): el 21 de noviembre o el 20 de enero. Cuando la sombra del bastón fue igual de larga que el propio bastón, le dijo a un servidor del faraón: "Corre y mide rápidamente la sombra de la Gran Pirámide. En este momento es tan larga como la propia pirámide".En otras palabras, tanto el bastón como la pirámide formaron con sus sombras un triangulo isósceles. (Un triángulo isósceles tiene dos lados y dos ángulos iguales).

Ahora bien, imaginemos que estamos en el Monumento Nacional a la Bandera de Rosario y queremos determinar la altura de su torre central.
Estamos en Invierno y los rayos del sol no caen en un ángulo de 45º. En este caso las sombras forman triángulos escalenos (en un triángulo escaleno todos sus lados y todos sus ángulos son distintos). A pesar de esto podemos usar la siguiente proporción, siempre y cuando los triángulos ABC y abc sean semejantes. (Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma. En el caso de los triángulos, la forma sólo depende de sus ángulos).Donde: AB = longitud de la torre central
AC= longitud de la sombra de la torre central
ab= longitud de una vara.
ac= longitud de la sombra de la vara.
Conociendo AC, ab y ac se obtiene AB, es decir la longitud de la torre central.


Podríamos seguir así calculando la altura de una infinidad de objetos y seres vivos que comparten nuestro planeta. ¿Hay algo mas que podamos calcular? Sí, solo basta mirar al cielo y eso es lo que hizo Galileo Galilei hace casi 400 años. Después de construir su primer telescopio observó la Luna. Cuatro meses antes lo había hecho Thomas Harriot en Londres. Si bien, esto no requiere hoy en día, ni de imaginación ni de coraje, en esa época la realidad era otra. Ambos tuvieron el valor de acercarse a la Luna como nadie lo había hecho antes. Sin embargo ambos vieron dos Lunas totalmente distintas. Harriot vió la Luna de los poetas, Galileo la Luna que conocemos hoy. Es así que usando su telescopio, Galileo pudo descubrir que la superficie de la Luna no era lisa y uniforme, como se creía en aquella época, sino que tenía una gran cantidad de cráteres y montañas. El nuevo problema que se le planteo a Galileo fue que no tenía ningún objeto conocido con el cual comparar las montañas lunares. Había entonces que echar mano de otra herramienta matemática: la Trigonometría.
Calculando la altura de las montañas lunares por medio de sus sombras encontró que estas eran similares a las de la Tierra llegando a medir, las más altas, unos 10.000 metros.
Hay que tener en cuenta, que la montaña mas alta de la Tierra (a nivel del mar) es el Everest con 8.900 metros y a la vez que esta representa 1/700 del radio terrestre Por lo tanto se encontró con la sorpresa que las montañas lunares eran mucho mas altas proporcionalmente que las de la Tierra y representaban aproximadamente 1/174 del radio lunar.
De cualquier manera estas fueron las primeras experiencias que tuvo el hombre para conocer mas de cerca nuestro satélite natural.
Para medir hoy en día los accidentes geográficos de la luna y de otros planetas, los astrofísicos necesitan calcular en primer lugar un radio promedio polar y uno ecuatorial. Con estos datos arman luego una esfera o un esferoide, según sea el caso, y lo utilizan como línea de base para calcular la altura de las montañas o las depresiones.

Bueno, ahora nos preparamos para volver a la Tierra.

Pons asinorum

Descifrando el código .
En un papel esta la clave para descifrar el código da Vinci. Solo necesitamos conocer un poco de geometría, tener algo de habilidad con las manos y mucha, …mucha paciencia para saber qué se oculta detrás de estos papeles llenos de cicatrices.
La metamorfosis puede ser tan extraña y sorprendente como en la naturaleza.

Esta es solo una de las más de 370 formas de demostrar el Teorema de Pitágoras, considerado el pons asinorum (puente de los burros) de la Edad Media.
A tal punto, que en esa época, se exigía una nueva demostración de este teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos.
Leonardo da Vinci, el genio del Renacimiento, así lo hizo y pudo demostrarlo de la forma mas elegante que se conozca.
El desafio, entonces, era a continuación demostrar mediante la papiroflexia u origami este Teorema.
Mientras lo hacia, aprendí cosas interesantes sobre los origamis.
Su historia comienza en el siglo I o II, en China, junto con la historia del papel y mas tarde llega a Japón (siglo V). Por aquel entonces, el papel era un articulo de lujo que solo podían conseguir las personas de clase alta. Con el tiempo se hace más popular y sus diferentes figuras se usan para distinguir las distintas clases sociales. Solo falta una cosa: ganarse un lugar en el espíritu japonés. Por eso en Japón la grulla es un símbolo de la buena suerte; regalar por ejemplo una grulla de origami a una persona enferma simboliza el deseo que esta recupere la salud. En Japón existe la creencia de que quien pliegue mil grullas de papel verá cumplido cualquier deseo propio. Esta antigua tradición japonesa fue conocida a nivel mundial debido a una triste historia: una niña japonesa enferma de leucemia, después del ataque con bombas atómicas sobre Hiroshima, comenzó a plegar grullas de papel con la esperanza de salvar su vida, pero la muerte le sobrevino antes de completar las mil.
Sus compañeros de clase plegaron el resto, y la enterraron con las mil grullas que no pudieron salvarle la vida. Desde entonces, la grulla ha sido considerada también como un símbolo de paz.

Otra cosa que me quedo clara, es porqué este teorema despierta la curiosidad de los matemáticos. Solo hay que ver las siguientes figuras para entenderlo.

Las posibilidades aumentan si utilizamos la tercera dimensión. Asi que la lista es larga.
Pero mas difícil de explicar es para que sirve el teorema de Pitágoras. Incluso mas difícil que esto es explicar evolutivamente para que le servia a nuestros antepasados homínidos tener una mente matemática en un mundo donde no estaban satisfechas las necesidades básicas.
Y las preguntas siguen. ¿Se cumplirá el teorema de Pitágoras para exponentes naturales mayores que 2?

Hasta el próximo post.

Limbos matemáticos y universos físicos.

A lo largo de la historia de las matemáticas se han ido acumulando distintas “formas de demostrar”. Probablemente la más convincente de todas ellas sea la demostración visual, una demostración que nos lleva desde el universo simbólico al universo físico, de las líneas y las superficies al universo 3D en el que vivimos.
A veces es bueno pasar a una dimensión superior para resolver un problema. Y aquí vemos al genio de Pitágoras convirtiendo un problema de líneas en un problema de superficies. ¡Brillante! Pero, ¿que pasa si subimos una dimensión más? El resultado es este.

Curiosidades matemáticas

Si digo Pitágoras seguramente se nos viene a la mente el famoso "Teorema”. Añadamos la palabra cuadrado y como por arte de magia tendremos este hermoso cuadrado mágico.

Para disfrutarlo, recordemos primero qué nos dice el más antiguo de los teoremas. Según el enunciado de Diofanto:
En un triangulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Sobre el cateto menor se ha construido un cuadrado mágico donde la suma de cada fila y cada columna es igual a 147 y la suma de todos sus números, 441. En el cuadrado construido sobre el cateto mayor, la suma de cada fila y cada columna es igual a 46, por lo que la suma de todos sus números es igual a 184.
Reemplazando en la ecuación de Diofanto tenemos que: 441 + 184 = 625.
Y efectivamente, la suma de todos los números del cuadrado construido sobre la hipotenusa nos da el mismo resultado.
Falta solo demostrar si se trata de un cuadrado mágico, tarea que se las dejo a quien quiera postear.